V určitém okamžiku vašeho života jste možná museli učinit řadu pevných plateb za určité období - například pronájem nebo auto platby - nebo jste dostali řadu plateb za určité období času, jako jsou dluhopisové kupóny. Tito se nazývají anuity. Pokud chápete časovou hodnotu peněz, jste připraveni se dozvědět o anuitach a tom, jak jsou vypočítávány jejich současné a budoucí hodnoty.

Co jsou anuity?

Anuity jsou v podstatě řada pevných plateb, které od vás požadujete nebo které jste vám zaplatili za určitou dobu v průběhu určitého časového období. Nejběžnější platební frekvence jsou ročně, pololetně (dvakrát ročně), čtvrtletně a měsíčně. Existují dva základní druhy anuity: řádné anuity a anuity splatné.

• Řádná anuita: Platby se vyžadují na konci každého období. Například rovné dluhopisy zpravidla vyplácejí kupónové platby na konci každého šesti měsíců až do data splatnosti dluhopisu.
• Splatná anuita: platby se vyžadují na začátku každého období. Pronájem je příkladem splatné anuity. Obvykle se musíte zaplatit, když se poprvé přesunete na začátku měsíce, a poté na první měsíc poté.

Vzhledem k tomu, že současná a budoucí kalkulace hodnoty pro běžné renty - a splatné renty jsou mírně odlišné - budeme nejprve diskutovat o současném a budoucím výpočtu hodnoty pro běžné renty.

Výpočet budoucí hodnoty běžné anuity

Pokud víte, kolik můžete investovat za určité období po určitou dobu, budoucí hodnota (FV) vzorku běžné anuity je užitečná pro zjištění, kolik byste mít v budoucnosti investovat na vaší dané úrokové sazbě. Pokud provádíte platby za úvěr, budoucí hodnota je užitečná při stanovení celkových nákladů na úvěr.

Pojďme nyní projít příkladem 1. Zvažte následující plán anuitních peněžních toků:

Pro výpočet budoucí hodnoty anuity musíme vypočítat budoucí hodnotu každého peněžního toku. Předpokládejme, že každoročně získáváte 1 000 000 dolarů na další pět let a každou platbu investujete na 5%. Následující schéma ukazuje, kolik byste měli na konci pětiletého období:

Protože musíme přidat budoucí hodnotu každé platby, můžete si všimnout, že pokud máte běžnou anuitu s mnoha peněžními toky, bude trvat dlouho, než vypočítete všechny budoucí hodnoty a poté je přidáte dohromady. Matematika poskytuje naštěstí vzorec, který slouží jako zkratka pro zjištění kumulativní hodnoty všech peněžních toků obdržených z běžné anuity:

kde C = peněžní tok za období i = úroková míra n = počet platby

Vyšší vzorec pro příklad 1 je výsledkem:

= $ 1000 * [5.53] = 5525 USD. 63

Poznamenejme, že 1 centový rozdíl mezi $ 5, 525. 64 a $ 5, 525. 63 je způsoben zaokrouhlovací chybou v prvním výpočtu. Každá hodnota prvního výpočtu musí být zaokrouhlena na nejbližší penny - čím více čísel zaokrouhlujete ve výpočtu, tím pravděpodobnější budou pravděpodobnosti zaokrouhlení. Takže výše uvedený vzorec nejen poskytuje zkratku k nalezení FV běžné anuity, ale také dává přesnější výsledek.

Výpočet současné hodnoty běžné anuity

Pokud chcete určit dnešní hodnotu budoucích platebních řad, musíte použít vzorec, který vypočítá současnou hodnotu (PV) běžné anuity. Jedná se o vzorec, který byste použili jako součást výpočtu ceny dluhopisů. FV běžné anuity vypočítá současnou hodnotu kupónových plateb, které obdržíte v budoucnu.

Pro příklad 2 použijeme stejný rozvrh peněžních toků jako v příkladu 1. Abychom získali celkovou diskontovanou hodnotu, musíme vzít současnou hodnotu každé budoucí platby a jak jsme udělali v příkladu 1 , přidejte spolu peněžní toky.

Opět výpočet a přidání všech těchto hodnot zaberou značné množství času, zejména pokud očekáváme mnoho budoucích plateb. Jako takové můžeme použít matematickou zkratku pro FV běžné anuity.

kde C = peněžní tok za období i = úroková míra n = počet plateb

Vzorec nám poskytuje FV v několika snadných krocích. Zde je výpočet anuity znázorněné v diagramu pro příklad 2:

= $ 1000 * [4. 33] = 4329 USD. 48

Výpočet budoucí hodnoty dlužné anuity

Když obdržíte nebo placíte peněžní toky za splatnou rentu, váš plán cash flow by vypadal takto:

Protože každá platba v sérii je provedena jedna lhůta dříve, musíme slevu vzorec jedna období zpět. Mírná změna ve vzorci FV anonymity-anuity odpovídá platbám, ke kterým dochází na začátku každého období. V příkladu 3 ukážeme, proč je tato změna zapotřebí, když se každá platba ve výši 1 000 dolarů uskuteční na začátku období než na konci (úroková sazba je ještě 5%):

Všimněte si, že pokud jsou platby uskutečněny na počáteční období je každá částka na konci období delší. Pokud by například 1 000 000 dolarů bylo investováno 1. ledna spíše než 31. prosince každého roku, poslední platba dříve, než budeme ocenit naši investici po uplynutí pěti let (31. prosince), byla provedena před rokem (1. ledna) spíše než ve stejný den, ve kterém je ceněn. Budoucí hodnota anuitního vzorce by pak měla být:

kde C = peněžní tok za období i = úroková míra n = počet plateb

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = 5801 USD. 91

Výpočet současné hodnoty dlužné anuity

Pro současnou hodnotu anuitní splatnosti, musíme slevit vzorec jedna období vpřed, protože platby jsou drženy po kratší dobu. Při výpočtu současné hodnoty předpokládáme, že první platba byla provedena dnes.

Můžeme použít tento vzorec pro výpočet současné hodnoty vašich budoucích plateb nájemného, ​​jak je uvedeno v nájemní smlouvě, kterou podepsáte s pronajímatelem. Řekněme, že v příkladu 4 jste provedli první platbu za pronájem na začátku měsíce a hodnotíte současnou hodnotu vašeho pětiměsíčního pronájmu v ten den. Výpočet současné hodnoty by fungoval takto:

Samozřejmě můžeme použít k výpočtu současné hodnoty anuity splatné:

kde C = peněžní tok za období i = úroková míra > n = počet plateb Proto

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= 4545 USD. 95 Připomeňme si, že současná hodnota běžné anuity vrátila hodnotu 4,39 dolarů. 48. Současná hodnota běžné anuity je nižší než současná dlužná renta, protože vzhledem k tomu, že jsme zpětně odmítli budoucí platbu, jeho současná hodnota - každá platba nebo peněžní tok v běžné anuitě se projevuje o jedno další období do budoucnosti.

Spodní linie

Nyní můžete vidět, jak anuity ovlivňují výpočet současné a budoucí hodnoty jakékoli částky peněz. Nezapomeňte, že platební frekvence nebo počet plateb a čas, kdy jsou tyto platby provedeny (ať již na začátku nebo na konci každého platebního období), jsou všechny proměnné, které musíte ve vašich výpočtech zohlednit.