Simulace monte Carlo S GBM

Jedním z nejběžnějších způsobů odhadování rizika je použití simulace Monte Carlo (MCS). Například pro výpočet hodnoty v riziku (VaR) portfolia můžeme spustit simulaci Monte Carlo, která se pokouší předpovědět nejhorší pravděpodobnou ztrátu pro portfolio s daným intervalem spolehlivosti ve stanoveném časovém horizontu - vždy musíme specifikovat dvě podmínky VaR: důvěra a horizont. (Pro související čtení viz Použití a limity volatility a Úvod do rizikové hodnoty (VAR) - Část 1 a

V tomto článku přezkoumáme základní MCS použitou na cenu akcií. Potřebujeme model, který specifikuje chování ceny akcií, a použijeme jeden z nejběžnějších modelů v oblasti financí: geometrický Brownian motion (GBM). Zatímco simulace Monte Carlo může odkazovat na vesmír různých přístupů k simulaci, začneme zde s nejzákladnějšími.

Kde začít

Monte Carlo simulace je pokus předvídat budoucnost mnohokrát. Na konci simulace produkují tisíce nebo miliony "náhodných zkoušek" distribuci výsledků, které lze analyzovat. Základní kroky jsou:

1. Určete model (např. Geometrický Brownian pohyb)

2. Generujte náhodné pokusy

3. Proces výstupu
1. Zadejte model
(např. GBM)

V tomto článku použijeme geometrický Brownian motion (GBM), který je technicky Markovovým procesem. To znamená, že cena akcií následuje náhodnou procházkou a je v souladu s (přinejmenším) slabou formou efektivní tržní hypotézy (EMH): informace o cenách v minulosti jsou již zahrnuty a další cenový pohyb je "podmíněně nezávislý" pohyby cen. (Více o EMH, čtěte Pracuje prostřednictvím účinné hypotézy trhu
a Co je tržní účinnost? )

Vzorec pro GBM se nachází níže, kde "S" je cena akcií, "m" (řečtina mu) je očekávaná návratnost, "s" (řecká sigma) je směrodatná odchylka návratů, "t" je čas, a "e" (řecká epsilon) je náhodná proměnná:

Pokud uspořádáme vzorec, který chceme vyřešit pouze za změnu ceny akcií, vidíme, že GMB říká změnu ceny akcií je cena akcií "S" vynásobená dvěma výrazy nalezenými v závorce níže:

První termín je "drift" a druhý termín je "šok". Pro každé časové období model předpokládá, že cena se bude "posunovat" očekávaným výnosem. Ovšem tento drift bude šokován (přidaný nebo odečtený) náhodným šokem. Náhodný šok bude standardní odchylka "s" vynásobená náhodným číslem "e". Jedná se jednoduše o změnu měřítka směrodatné odchylky.

To je podstatou GBM, jak je znázorněno na obrázku 1. Cena akcií následuje po řadě kroků, kde každý krok je drift plus / minus náhodný šok (sám o sobě funkce standardní odchylky akcií): > Obrázek 1

2.Generování náhodných zkoušek

Vyzbrojené specifikací modelu, pokračujeme v provádění náhodných testů. Pro ilustraci jsme použili program Microsoft Excel ke spuštění 40 testů. Mějte na paměti, že je to nereálně malý vzorek; většina simulací nebo sims běží nejméně několik tisíc pokusů.

V tomto případě předpokládejme, že akcie začínají v den nula s cenou 10 USD. Zde je graf výsledku, kde je každý časový krok (nebo interval) jeden den a série běží po dobu deseti dnů (souhrn: čtyřicet zkoušek s denními kroky v průběhu deseti dnů):

Obr. 2: Geometrické Brownian Motion > Výsledkem je čtyřicet simulovaných cen akcií na konci 10 dní. Žádný z nich nespadl pod 9 dolarů a jeden je nad 11 dolarů. 3. Proces výstupu

Simulace vedla k distribuci hypotetických budoucích výsledků. Můžeme s produktem dělat několik věcí. Pokud chceme například odhadnout VaR s 95% jistotou, pak musíme najít pouze výsledek třicátého osmého (třetí nejhorší výsledek). To proto, že 2/40 se rovná 5%, takže dva nejhorší výsledky jsou v nejnižších 5%.

Pokud zobrazujeme výsledky do košů (každá koš je jedna třetina $ 1, takže tři koše pokrývají interval od $ 9 do $ 10), získáme následující histogram:

Obrázek 3

Nezapomeňte že náš GBM model předpokládá normálnost: výnosy z ceny jsou normálně rozděleny s očekávaným výnosem (průměr) "m" a směrodatnou odchylkou "s". Je zajímavé, že náš histogram nevypadá normálně. Ve skutečnosti, s více zkouškami, nebude mít tendenci k normálu. Namísto toho bude mít tendenci k rozdělení logaritmu: ostrý pokles doleva od střední a vysoko zkosený "dlouhý ocas" napravo od středu. To často vede k potenciálně matoucí dynamice pro začínající studenty: Ceny

vrací

jsou normálně distribuovány.

Hodnota

úrovně jsou log-normálně distribuovány. Přemýšlejte o tom takto: Akcie se mohou vrátit nahoru nebo dolů o 5% nebo 10%, ale po určitém časovém období cena akcií nemůže být záporná. Dále vzrůstá cenová hladina na vzestupném směru, zatímco klesající cena na dolní straně snižuje základnu: ztratit 10% a zůstane s tím, že příště ztratíte. Zde je schéma logonormální distribuce navržené na základě našich ilustrovaných předpokladů (např. Výchozí cena 10 USD):
Obrázek 4 Shrnutí Simulace Monte Carlo používá vybraný model (model, nástroj) k rozsáhlému souboru náhodných pokusů ve snaze vytvořit pravděpodobnou sadu možných budoucích výsledků. Pokud jde o simulaci cen akcií, nejvíce obyčejným modelem je geometrický Brownian motion (GBM). GBM předpokládá, že konstantní drift je doprovázen náhodnými nárazy. Zatímco období, které se vrací v rámci GBM, jsou normálně distribuovány, následně jsou časové úrovně víceletých (například desetidenních) lognormálně rozděleny.

Podívejte se na filmový výukový program společnosti David Harper,