Je velmi náročné dohodnout se na přesném stanovení cen jakéhokoli obchodovatelného aktiva, a to i v dnešní době. Proto se ceny akcií neustále mění. Ve skutečnosti společnost sotva mění své ocenění na denní bázi, ale cena akcií a jejich ocenění se mění každou vteřinu. To ukazuje obtížně při dosažení konsenzu o dnešní ceně pro jakékoliv obchodovatelné aktivum, což vede k arbitrážním příležitostem. Nicméně, tyto možnosti arbitráže jsou opravdu krátké.

To vše se snižuje na dnešní ocenění - jaká je dnešní správná cena pro očekávanou budoucí výplatu?

Na konkurenčním trhu, aby se zabránilo arbitrážním příležitostem, musí mít majetek se stejnými výplatními strukturami stejnou cenu. Oceňování možností bylo náročným úkolem a byly pozorovány velké rozdíly v tvorbě cen, což vedlo k arbitrážním příležitostem. Black-Scholes zůstává jedním z nejpopulárnějších modelů používaných při oceňování cen, ale má své vlastní omezení. (Další informace viz: Možnosti ceny ). Binomický model oceňování opcí je další populární metoda používaná pro možnosti tvorby cen. Tento článek popisuje několik podrobných podrobných příkladů a vysvětluje základní koncept rizikově neutrální při aplikaci tohoto modelu. (Pro související čtení viz: Přerušení binomického modelu pro volbu možnosti ).

Tento článek předpokládá seznámení uživatele s možnostmi a souvisejícími pojmy a pojmy.

Předpokládejme, že na konkrétní akci existuje kupní volba, jejíž aktuální tržní cena je 100 USD. Možnost ATM má stávkovou cenu 100 USD s uplynutím jednoho roku. Existují dva obchodníci, Peter a Paul, kteří oba souhlasí, že cena akcií se buď zvýší na 110 dolarů, nebo se sníží na 90 dolarů za jeden rok. Obě strany se shodují na předpokládané cenové hladině v daném časovém rámci jednoho roku, ale nesouhlasí s pravděpodobností pohybu nahoru (dolů). Peter se domnívá, že pravděpodobnost, že cena akcií činí 110 USD, je 60%, zatímco Pavel věří, že je 40%.

Na základě výše uvedených skutečností by byl ochoten zaplatit za nákupní opci další cenu?

Možná Peter, protože očekává vysokou pravděpodobnost, že se hýbe nahoru.

Podívejme se na výpočty, abychom to ověřili a pochopili. Dva aktiva, na nichž závisí ocenění, jsou opce a podkladová aktiva. Mezi účastníky dochází k dohodě, že základní cena akcií se může během jednoho roku pohybovat ze současných 100 dolarů na 110 dolarů nebo 90 dolarů a neexistují žádné další cenové pohyby.

V bezúročném světě, pokud budeme muset vytvořit portfolio zahrnující tyto dva aktiva (call option a podkladová aktiva) takový, že bez ohledu na to, kde vychází základní cena ($ 110 nebo $ 90), čistá výnosnost portfolia vždy připomíná to samé.Předpokládejme, že k vytvoření tohoto portfolia koupíme akcie typu d dané podkladové a krátké volby.

Pokud cena půjde na 110 dolarů, naše akcie budou činit 110 dolarů * d a při výplatě krátkých hovorů ztratíme 10 dolarů. Čistá hodnota portfolia bude (110d - 10).

Pokud cena klesne na 90 dolarů, naše akcie budou mít hodnotu 90 dolarů * d a opce bude vyčerpána. Čistá hodnota portfolia bude 90d.

Pokud chceme, aby hodnota našeho portfolia zůstala stejná, bez ohledu na to, kde vychází základní cena akcií, pak by hodnota našeho portfolia měla zůstat v obou případech stejná, i. E. :

=> (110d-10) = 90d

=> d = ½

i. E. pokud si koupíme polovinu podílu (za předpokladu, že jsou možné jen částečné nákupy), dokážeme vytvořit portfolio tak, aby jeho hodnota zůstala stejná v obou možných státech v daném časovém rámci jednoho roku. (bod 1)

Tato hodnota portfolia označená (90d) nebo (110d -10) = 45 je jeden rok dolů. Pro výpočet současné hodnoty může být diskontována bezriziková návratnost (za předpokladu 5%).

=> 90d * exp (-5% * 1 rok) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Současná hodnota portfolia

s tržní cenou 100 USD) a 1 krátkým voláním by se měla rovnat současné hodnotě vypočtené výše i. E.

=> 1/2 * 100 - 1 * cena hovoru = 42. 85

=> Cena hovoru = 7 USD. 14 i. E. cenu hovoru k dnešnímu dni.

Vzhledem k tomu, že se vychází z výše uvedeného předpokladu, že hodnota portfolia zůstává stejná bez ohledu na to, jakým způsobem vychází základní cena (bod 1 výše), pravděpodobnost pohybu nahoru nebo dolů v tomto směru nehraje žádnou roli. Portfolio zůstává bez rizika, bez ohledu na cenové pohyby.

V obou případech (předpokládáme, že se přesuneme na 110 dolarů a dolů na 90 dolarů), naše portfolio je neutrální vůči riziku a získává bezrizikovou míru návratnosti.

Proto obchodníci, Peter a Paul, budou ochotni zaplatit stejné 7 dolarů. 14 pro tuto možnost volání, bez ohledu na jejich vlastní odlišné vnímání pravděpodobnosti pohybu nahoru (60% a 40%). Jejich individuálně vnímaná pravděpodobnost nehraje žádnou roli při oceňování opcí, jak je patrné z výše uvedeného příkladu.

Pokud předpokládejme, že jednotlivé pravděpodobnosti záleží, pak by existovaly možnosti arbitráže. V reálném světě existují takové možnosti arbitráže s menším cenovým rozdílem a krátkodobě zmizí.

Ale kde je vysoká volatilita ve všech těchto výpočtech, což je důležitý (a nejcitlivější) faktor ovlivňující stanovení cen opcí?

Volatilita je již zahrnuta povahou definice problému. Nezapomeňte, že předpokládáme dva (a pouze dva - a tudíž i názvy "binomické") stavy cenových hladin (110 a 90 dolarů). V tomto předpokladu je implicitní volatilita, a tudíž automaticky zahrnutá - 10% v obou případech (v tomto příkladu).

Nyní provedeme kontrolu zdravého rozumu, abychom zjistili, zda je náš přístup správný a koherentní s běžně používanými cenami společnosti Black-Scholes. (Viz: Model oceňování opcí Black-Scholes ).

Zde jsou screenshoty výsledků kalkulací voleb (s laskavým svolením OIC), které se blíží naší vypočítané hodnotě.

Bohužel skutečný svět není tak jednoduchý jako "pouze dva státy". Existuje několik cenových hladin, které lze dosáhnout zásobami až do uplynutí doby platnosti.

Je možné zahrnout všechny tyto více úrovní do našeho binomického cenového modelu, který je omezen pouze na dvě úrovně? Ano, je to velmi možné a pochopit to, pojďme do nějaké jednoduché matematiky.

Několik dílčích výpočetních kroků se přeskočí, aby bylo shrnuto a zaměřeno na výsledky.

Chcete-li pokračovat, zobecněte tento problém a řešení:

"X" je aktuální tržní cena akcií a "X * u" a "X * d" jsou budoucí ceny pro pohyb nahoru a dolů 'roky později. Faktor "u" bude větší než 1, protože indikuje pohyb nahoru a "d" leží mezi 0 a 1. U výše uvedeného příkladu u = 1. 1 a d = 0. 9.

Výplaty call call jsou "P _nahoru 'a' P _dn 'pro pohyb nahoru a dolů v okamžiku vypršení platnosti.

Hodnota portfolia v případě pohybu nahoru = s * X * u - P

Pokud budeme stavět portfolio akcií zakoupených dnes a krátká jedna volba, pak po čase 't': < nahoru _{Hodnota portfolia v případě poklesu pohybu = s * X * d - P}

dn _nahoru

= s * X * d - P

dn _{=> s (P} up _{)) = číslo č. akcií na nákup bezrizikového portfolia}

Budoucí hodnota portfolia na konci roku t bude _{V případě pohybu nahoru = s * X * u - P} nahoru _(P nahoru

- P

dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} nahoru _{s bezrizikovou návratností:} To by mělo odpovídat držení akcií v portfoliu v ceně X a krátká hodnota "c" i. E. současná doba držení (s * X - c) by se měla shodovat s výše uvedeným. Řešení pro c konečně dává c jako: _{JEJICH KRÁTKÁ PREMIUM VOLBY BY MĚL BÝT PŘIDÁNÍ DO PORTFÓLIA, NEROŽENO.} Jiný způsob, jak napsat výše uvedenou rovnici, je uspořádání takto: _{Když se q rovná}

, pak se nad rovnicí stává

Přeskupení rovnice z hlediska "q" nabízí novou perspektivu.

"q" lze nyní interpretovat jako pravděpodobnost, že se pohybuje nahoru (jako "q" je spojeno s P

nahoru

a 1-q je spojeno s P

dn

). Celkově výše uvedená rovnice představuje současnou opční cenu i. E. diskontovanou hodnotu její výplaty při uplynutí platnosti.

Jak se tato pravděpodobnost "q" liší od pravděpodobnosti pohybu nahoru nebo dolů základního? _{Hodnota ceny akcie v čase t = q * X * u + (1-q) * X * d} . E. v tomto předpokládaném světě dvou států se cena akcií jednoduše zvyšuje bezrizikovou mírou návratnosti, tj. E. přesně jako bezriziková aktiva, a proto zůstává nezávislá na riziku.Všichni investoři jsou podle tohoto modelu lhostejní k riziku a to představuje model rizikově neutrální. _{Pravděpodobnost "q" a "(1-q)" jsou známa jako pravděpodobné rizika a metoda oceňování je známá jako model oceňování rizik neutrální.} Výše ​​uvedený příklad má jeden důležitý požadavek - struktura budoucích výplat je vyžadována s přesností (úroveň 110 a 90 dolarů). V reálném životě není taková jasnost ohledně stupňovitých cenových úrovní možná; spíše se cena pohybuje náhodně a může se vyrovnat na několika úrovních.

Rozšiříme příklad dále. Předpokládejme, že jsou možné dvoustupňové cenové úrovně. Známe druhé platové závěrečné výnosy a dnes musíme ocenit (tj. V počátečním kroku)

Zpracovat zpět, mezitímní první stupeň (t = 1) lze provést pomocí konečných výnosů ve druhém kroku (t = 2) a pak pomocí tohoto vypočítaného prvního stupně (t = 1) lze dosáhnout dnešního ocenění (t = 0) pomocí výše uvedených výpočtů.

Chcete-li získat cenu za opce, ne. 2, jsou použity výnosy ve výši 4 a 5. Chcete-li získat cenu za ne. 3 jsou použity výnosy ve výši 5 a 6. Konečně, vypočtené výnosy ve výši 2 a 3 se používají k tomu, aby se ceny staly ne. 1.

Vezměte prosím na vědomí, že náš příklad předpokládá stejný faktor pro pohyb vpřed (a dolů) v obou krocích - u (a d) se používají ve složeném módu.

Zde je pracovní příklad s výpočty:

Předpokládejme, že put opce s strike cena 110 dolarů v současné době obchoduje na 100 dolarů a vyprší v jednom roce. Roční bezriziková sazba činí 5%. Očekává se, že cena se zvýší o 20% a každých šest měsíců se sníží o 15%.

Strukturu problému:

Zde u = 1. 2 a d = 0,85, X = 100, t = 0. 5

pomocí výše odvozeného vzorce

, dostaneme q = 0. 35802832

hodnota opce put v bodě 2,

Pod podmínkou P

upward

* 1. 2 * 1. 2 = 144 dolarů vedoucí k P

upup

= nula

Při podmínce P

updn _{bude podkladová hodnota = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 vedoucí k P} updn _{= $ 8} Pod podmínkou P

dndn _{bude podkladová hodnota = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 dolarů. 25 vedoucí k P} dndn _{= 37 USD. 75} p

2 _{= 0. 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5.008970741} > = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924 _{A tedy hodnota opce put, p} 1

= 0. 975309912 * (0, 35802832 * 5. 008970741+ (1-0, 35802832) * 26. 42958924) = _{18 dolarů. 29.} Podobně binomické modely umožňují rozbít celou dobu trvání opce na další vylepšené více kroků / úrovní. Použitím počítačových programů nebo tabulek lze postupovat krok za krokem najednou, abyste získali současnou hodnotu požadované možnosti.

Pojďme uzavřít ještě dalším příkladem, který zahrnuje tři kroky pro ocenění binomické opce: _{Předpokládejme, že put opce evropského typu, mít 9 měsíců do uplynutí s stávkou cenu 12 dolarů a současnou základní cenu na $ 10. Předpokládejme bezrizikovou sazbu ve výši 5% pro všechna období. Předpokládejme, že každých 3 měsíce se podkladová cena může pohybovat o 20% nahoru nebo dolů, což nám u = 1. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 a 3 krok binomický strom.} Údaje v červené barvě uvádějí podkladové ceny, zatímco v modrých číslech se uvádí opce z prodeje.

Pravděpodobnost rizikového neutrálního měření q se vypočítá na hodnotu 0. 531446. _{Při použití výše uvedené hodnoty q a výnosových hodnot při t = 9 měsíců se odpovídající hodnoty při t = 6 měsících vypočítají jako:} vypočítané hodnoty při t = 6, hodnoty při t = 3 a pak u t = 0 jsou: udávající hodnotu dne prodeje jako $ 2. 18, což je docela blízko k tomu, který byl vypočítán pomocí modelu Black-Scholes ($ 2. 3)

Bottom Line

Ačkoli použití počítačových programů dokáže zjednodušit mnoho těchto intenzivních výpočtů, zůstává předpověď budoucích cen významné omezení binomických modelů pro oceňování opcí. Čím jemnější časové intervaly, tím obtížnější je přesně předpovídat výnosy na konci každého období. Nicméně flexibilita pro začlenění změn, jak je očekáváno v různých časových obdobích, je jedním plusem, který je vhodný pro oceňování amerických možností, včetně předčasných hodnotících výkonů. Hodnoty vypočítané pomocí binomického modelu se shodují s hodnotami vypočtenými z jiných běžně používaných modelů, jako je Black-Scholes, což poukazuje na užitečnost a přesnost binomických modelů pro stanovení opcí. Binomické cenové modely mohou být vyvinuty podle obchodních preferencí a fungují jako alternativa k Black-Scholes.